{"id":2372,"date":"2021-05-07T22:16:03","date_gmt":"2021-05-07T20:16:03","guid":{"rendered":"https:\/\/biophysical-tools.de\/?page_id=2372"},"modified":"2024-07-25T11:21:20","modified_gmt":"2024-07-25T09:21:20","slug":"flow-rates-and-profiles-in-microchannels","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/biophysical-tools.de\/de\/flow-rates-and-profiles-in-microchannels\/","title":{"rendered":"Durchflussraten und -profile in Mikrokan\u00e4len"},"content":{"rendered":"
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Durchflussraten und -profile in Mikro- und Mesokan\u00e4len<\/strong><\/p>\n

Reibung tritt bei Relativbewegungen zwischen festen K\u00f6rpern, zwischen Fluiden in einem Rohr und dessen W\u00e4nden, aber auch fern von Grenzen innerhalb str\u00f6mender Fluide zwischen Schichten gleicher Geschwindigkeit (Lamellen) auf. Dies hat tiefgreifende Auswirkungen auf das Verhalten des Fluids. Die Str\u00f6mung in einem Rohr oder einem Kanal kann turbulent oder laminar sein<\/strong>. Dies h\u00e4ngt von der Kanalgr\u00f6\u00dfe, der Str\u00f6mungsgeschwindigkeit und den Eigenschaften der Fl\u00fcssigkeit ab. Das hei\u00dft: Je gr\u00f6\u00dfer der Kanal, je h\u00f6her die Str\u00f6mungsgeschwindigkeit und je niedriger die Viskosit\u00e4t, desto eher entwickelt die Str\u00f6mung Turbulenzen, die durch die Reynoldszahl (Re) beschrieben werden:<\/p>\n

Re = \u016b \u03c1 L \/ \u03b7<\/p>\n

mit der (mittleren) Str\u00f6mungsgeschwindigkeit \u016b, der Kanall\u00e4nge L, der Dichte (\u03c1) und der dynamischen Viskosit\u00e4t (\u03b7) des Fluids. Die charakteristische Dimension ist die L\u00e4nge, die das Gesamtverhalten des Fluids bestimmt - in unserem Fall kann es die laterale oder vertikale Kanalgr\u00f6\u00dfe sein. Re setzt die Str\u00f6mungsimpulsdichte \u016b \u22c5 \u03c1 (Tr\u00e4gheit) in Beziehung zur Viskosit\u00e4t. Turbulenz beginnt bei Re >2000 ... 3000, eine Zahl, die in Mikrokan\u00e4len gl\u00fccklicherweise kaum erreichbar ist, da L und \u03c1 sehr klein sind.<\/p>\n

Daher ist die Str\u00f6mung in unserem Fall laminar und die Reibung dominiert die Str\u00f6mungseigenschaften. Die Reibung hat gl\u00e4ttende Eigenschaften, scharfe Kanten im Geschwindigkeitsfeld vx<\/sub>(x, y, z) werden sehr schnell abgerundet. Die Viskosit\u00e4t ist die makroskopische Konsequenz der Reibung. Die Diffusion in Fl\u00fcssigkeiten f\u00fchrt zur Mittelung der Scherkr\u00e4fte und Minimierung der Gradienten. Allerdings ist es an den Kanalw\u00e4nden nicht der Fall, da sie station\u00e4r sind, also sich a priori nicht bewegen. a priori.<\/em><\/p>\n

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<\/span>Weitere Infos<\/div>
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Infolgedessen ist die Reibung direkt an den Grenzen am st\u00e4rksten, die resultierende Scherspannung \u03c4w<\/sub> wird durch die Viskosit\u00e4tskonstante und den Str\u00f6mungsgeschwindigkeitsgradienten gemessen, z. B. an Wandabschnitten parallel zur y-Achse:<\/p>\n

\u03c4w<\/sub> = \u03b7 (\u2202 vx<\/sub>\/ \u2202z).<\/p>\n

Bei laminaren Str\u00f6mungen<\/strong> hat die Mittelungstendenz der Diffusion zur Folge, dass die Grenzschicht immer weiter in die Str\u00f6mung hineinreicht und schlie\u00dflich die Geschwindigkeitsgradienten im gesamten Mikrokanal dominiert. So verteilt sich die Scherspannung \u03c4w<\/sub> schlie\u00dflich gleichm\u00e4\u00dfig \u00fcber den gesamten Kanal. Den Index \"w\" (= \"Wand\") kann also weggelassen werden. \u03c4 kann auch als Impulsfluss durch die Lamelle vom Volumen zu den R\u00e4ndern hin interpretiert werden. Das bedeutet tats\u00e4chlich, dass das sich bewegende Fluid den Schlauch in seine Flie\u00dfrichtung zieht (ein Gartenschlauch dehnt sich aus, wenn Wasser durchflie\u00dft).<\/p>\n

Betrachtet man die \u00c4nderungsrate dieser Scherspannung in der Fl\u00fcssigkeit entlang des Kanals, erh\u00e4lt man eine Zahl, die erstaunlicherweise an jedem Punkt konstant ist. Dies ist der von au\u00dfen angelegte Druckgradient entlang des Kanals, der die Fl\u00fcssigkeit in Bewegung bringt. Nun wird die innere Mechanik der herrschenden Gleichung einer station\u00e4ren Str\u00f6mung gegen einen Druckgradienten in x-Richtung in einem Rohr beliebiger Form klar, die lautet:<\/p>\n

\u22022<\/sup>vz<\/sub>\/\u2202y2<\/sup> + \u22022<\/sup>vz<\/sub>\/\u2202z2<\/sup> =1\/\u03b7 \u22c5 \u2202p\/\u2202x<\/p>\n

Beachten Sie, dass sich diese Gleichung bei verschwindendem Druckgradienten (rechte Seite) bei sehr gro\u00dfen Viskosit\u00e4ten der Diffusionsgleichung ann\u00e4hert, bei der jede Bewegung durch die Randbedingung unterdr\u00fcckt wird (verschwindende Geschwindigkeit an den R\u00e4ndern). Dies ist eine vereinfachte Navier-Stokes-Gleichung.<\/p>\n

Bei zeitabh\u00e4ngigen laminaren Str\u00f6mungen ist die linke Seite durch -\u03c1\/\u03b7 \u22c5 \u2202 vx<\/sub> \/ \u2202t zu erweitern.<\/p>\n

Die am meisten verbreiteten Kanalgeometrien in der Mikrofluidik sind zylindrisch oder rechteckig. Bei zylindrischen Kan\u00e4len<\/strong> ist die L\u00f6sung ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil (uC<\/sub>):<\/p>\n

uC\u00a0<\/sub>(r) = u0\u00a0<\/sub>( 1 – ( r\/R)2<\/sup>)<\/p>\n

mit der maximalen Geschwindigkeit in der Mitte des Schlauchs u0<\/sub> = -R2<\/sup>(\u2202p\/\u2202x)\/(4\u03b7), dem Schlauchradius (R) und dem Abstand von der Mittellinie des Schlauchs (r). Das negative Vorzeichen verweist darauf, dass die Str\u00f6mung invers zu den Druckgradienten ausgerichtet ist, d.h. von hohen zu niedrigen Dr\u00fccken. Die Integration ergibt den Gesamtvolumenstron:\u00a0Q=\u03c0 R4<\/sup> \/ (8 \u03b7 ) \u22c5 \u0394p\/\u0394 x, das ber\u00fchmte Hagen-Poiseuille-Gesetz.<\/p>\n

Bei rechteckigen Kanalprofilen<\/strong> im Bereich von (- w\/2 < y < + w\/2) und (- h\/2 < z < + h\/2) mit der Breite w und der H\u00f6he h \u2264 w kann das Geschwindigkeitsprofil durch L\u00f6sen der partiellen Differentialgleichung mit der Methode der Variablentrennung erhalten werden, die in der Literatur zu finden ist.[1] Nun besteht die L\u00f6sung aus einer Reihe von verschr\u00e4nkten hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen, die vom inversen Seitenverh\u00e4ltnis w\/h und y\/h, z\/h abh\u00e4ngen. Es sei angemerkt, dass f\u00fcr kleine Seitenverh\u00e4ltnisse das laterale Profil fast vollst\u00e4ndig flach ist, w\u00e4hrend das vertikale Profil gekr\u00fcmmt bleibt. Dies ist plausibel, da f\u00fcr den Extremfall eines unendlich breiten Kanals das horizontale Profil vollkommen flach wird. Diese Beobachtung deutet auf eine M\u00f6glichkeit hin, die Dispersion von kleinen Proben, die in einer str\u00f6menden Tr\u00e4gerfl\u00fcssigkeit gel\u00f6st sind, zu minimieren.<\/p>\n

Eine sehr gute Approximation f\u00fcr den Gesamtvolumenstrom f\u00fcr den gesamten Bereich von nahe 1 bis zu sehr kleinen Seitenverh\u00e4ltnissen h\/w ist gegeben durch<\/p>\n

Q = ((833 h3<\/sup> w – 523 h4<\/sup> tanh(\u03c0\/2 \u22c5 w\/h)) \/ \u03b7) \u22c5 \u0394 p \/ \u0394 x. [2]<\/p>\n

Auf dieser Website finden Sie einen Rechner f\u00fcr den Gesamtvolumenstrom und den zugeh\u00f6rigen Druck in zylindrischen und rechteckigen Kan\u00e4len. Wir laden Sie dazu ein, verschiedene Werte und Geometrien zu berechnen.<\/p>\n

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Referenzen: <\/strong><\/p>\n

[1] Bastian E. Rapp, Microfluidics: Modeling, Mechanics, and Mathematics (https:\/\/doi.org\/10.1016\/C2012-0-02230-2)<\/p>\n

[2] F\u00fctterer, C., Biophysical Tools GmbH<\/p>\n

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Verfasser: F\u00fctterer, C., Kubitschke, H.<\/i><\/p>\n

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\"Flow<\/a><\/p>\n\n\t\t<\/div>\n\t<\/div>\n<\/div><\/div><\/div><\/div>

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