Infolgedessen ist die Reibung direkt an den Grenzen am stärksten, die resultierende Scherspannung τ_w wird durch die Viskositätskonstante und den Strömungsgeschwindigkeitsgradienten gemessen, z. B. an Wandabschnitten parallel zur y-Achse:

τ_w = η (∂ v_x/ ∂z).

Bei laminaren Strömungen hat die Mittelungstendenz der Diffusion zur Folge, dass die Grenzschicht immer weiter in die Strömung hineinreicht und schließlich die Geschwindigkeitsgradienten im gesamten Mikrokanal dominiert. So verteilt sich die Scherspannung τ_w schließlich gleichmäßig über den gesamten Kanal. Den Index "w" (= "Wand") kann also weggelassen werden. τ kann auch als Impulsfluss durch die Lamelle vom Volumen zu den Rändern hin interpretiert werden. Das bedeutet tatsächlich, dass das sich bewegende Fluid den Schlauch in seine Fließrichtung zieht (ein Gartenschlauch dehnt sich aus, wenn Wasser durchfließt).

Betrachtet man die Änderungsrate dieser Scherspannung in der Flüssigkeit entlang des Kanals, erhält man eine Zahl, die erstaunlicherweise an jedem Punkt konstant ist. Dies ist der von außen angelegte Druckgradient entlang des Kanals, der die Flüssigkeit in Bewegung bringt. Nun wird die innere Mechanik der herrschenden Gleichung einer stationären Strömung gegen einen Druckgradienten in x-Richtung in einem Rohr beliebiger Form klar, die lautet:

∂²v_z/∂y² + ∂²v_z/∂z² =1/η ⋅ ∂p/∂x

Beachten Sie, dass sich diese Gleichung bei verschwindendem Druckgradienten (rechte Seite) bei sehr großen Viskositäten der Diffusionsgleichung annähert, bei der jede Bewegung durch die Randbedingung unterdrückt wird (verschwindende Geschwindigkeit an den Rändern). Dies ist eine vereinfachte Navier-Stokes-Gleichung.

Bei zeitabhängigen laminaren Strömungen ist die linke Seite durch -ρ/η ⋅ ∂ v_x / ∂t zu erweitern.

Die am meisten verbreiteten Kanalgeometrien in der Mikrofluidik sind zylindrisch oder rechteckig. Bei zylindrischen Kanälen ist die Lösung ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil (u_C):

u_C (r) = u₀ ( 1 – ( r/R)²)

mit der maximalen Geschwindigkeit in der Mitte des Schlauchs u₀ = -R²(∂p/∂x)/(4η), dem Schlauchradius (R) und dem Abstand von der Mittellinie des Schlauchs (r). Das negative Vorzeichen verweist darauf, dass die Strömung invers zu den Druckgradienten ausgerichtet ist, d.h. von hohen zu niedrigen Drücken. Die Integration ergibt den Gesamtvolumenstron: Q=π R⁴ / (8 η ) ⋅ Δp/Δ x, das berühmte Hagen-Poiseuille-Gesetz.

Bei rechteckigen Kanalprofilen im Bereich von (- w/2 < y < + w/2) und (- h/2 < z < + h/2) mit der Breite w und der Höhe h ≤ w kann das Geschwindigkeitsprofil durch Lösen der partiellen Differentialgleichung mit der Methode der Variablentrennung erhalten werden, die in der Literatur zu finden ist.[1] Nun besteht die Lösung aus einer Reihe von verschränkten hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen, die vom inversen Seitenverhältnis w/h und y/h, z/h abhängen. Es sei angemerkt, dass für kleine Seitenverhältnisse das laterale Profil fast vollständig flach ist, während das vertikale Profil gekrümmt bleibt. Dies ist plausibel, da für den Extremfall eines unendlich breiten Kanals das horizontale Profil vollkommen flach wird. Diese Beobachtung deutet auf eine Möglichkeit hin, die Dispersion von kleinen Proben, die in einer strömenden Trägerflüssigkeit gelöst sind, zu minimieren.

Eine sehr gute Approximation für den Gesamtvolumenstrom für den gesamten Bereich von nahe 1 bis zu sehr kleinen Seitenverhältnissen h/w ist gegeben durch

Q = ((833 h³ w – 523 h⁴ tanh(π/2 ⋅ w/h)) / η) ⋅ Δ p / Δ x. [2]

Auf dieser Website finden Sie einen Rechner für den Gesamtvolumenstrom und den zugehörigen Druck in zylindrischen und rechteckigen Kanälen. Wir laden Sie dazu ein, verschiedene Werte und Geometrien zu berechnen.

Referenzen:

[1] Bastian E. Rapp, Microfluidics: Modeling, Mechanics, and Mathematics (https://doi.org/10.1016/C2012-0-02230-2)

[2] Fütterer, C., Biophysical Tools GmbH

Verfasser: Fütterer, C., Kubitschke, H.