Durchflussraten und -profile in Mikro- und Mesokanälen

Reibung tritt bei Relativbewegungen zwischen festen Körpern, zwischen Fluiden in einem Rohr und dessen Wänden, aber auch fern von Grenzen innerhalb strömender Fluide zwischen Schichten gleicher Geschwindigkeit (Lamellen) auf. Dies hat tiefgreifende Auswirkungen auf das Verhalten des Fluids. Die Strömung in einem Rohr oder einem Kanal kann turbulent oder laminar sein. Dies hängt von der Kanalgröße, der Strömungsgeschwindigkeit und den Eigenschaften der Flüssigkeit ab. Das heißt: Je größer der Kanal, je höher die Strömungsgeschwindigkeit und je niedriger die Viskosität, desto eher entwickelt die Strömung Turbulenzen, die durch die Reynoldszahl (Re) beschrieben werden:

Re = ū ρ L / η

mit der (mittleren) Strömungsgeschwindigkeit ū, der Kanallänge L, der Dichte (ρ) und der dynamischen Viskosität (η) des Fluids. Die charakteristische Dimension ist die Länge, die das Gesamtverhalten des Fluids bestimmt - in unserem Fall kann es die laterale oder vertikale Kanalgröße sein. Re setzt die Strömungsimpulsdichte ū ⋅ ρ (Trägheit) in Beziehung zur Viskosität. Turbulenz beginnt bei Re >2000 ... 3000, eine Zahl, die in Mikrokanälen glücklicherweise kaum erreichbar ist, da L und ρ sehr klein sind.

Daher ist die Strömung in unserem Fall laminar und die Reibung dominiert die Strömungseigenschaften. Die Reibung hat glättende Eigenschaften, scharfe Kanten im Geschwindigkeitsfeld vx(x, y, z) werden sehr schnell abgerundet. Die Viskosität ist die makroskopische Konsequenz der Reibung. Die Diffusion in Flüssigkeiten führt zur Mittelung der Scherkräfte und Minimierung der Gradienten. Allerdings ist es an den Kanalwänden nicht der Fall, da sie stationär sind, also sich a priori nicht bewegen.

Weitere Infos

Infolgedessen ist die Reibung direkt an den Grenzen am stärksten, die resultierende Scherspannung τw wird durch die Viskositätskonstante und den Strömungsgeschwindigkeitsgradienten gemessen, z. B. an Wandabschnitten parallel zur y-Achse:

τw = η (∂ vx/ ∂z).

Bei laminaren Strömungen hat die Mittelungstendenz der Diffusion zur Folge, dass die Grenzschicht immer weiter in die Strömung hineinreicht und schließlich die Geschwindigkeitsgradienten im gesamten Mikrokanal dominiert. So verteilt sich die Scherspannung τw schließlich gleichmäßig über den gesamten Kanal. Den Index "w" (= "Wand") kann also weggelassen werden. τ kann auch als Impulsfluss durch die Lamelle vom Volumen zu den Rändern hin interpretiert werden. Das bedeutet tatsächlich, dass das sich bewegende Fluid den Schlauch in seine Fließrichtung zieht (ein Gartenschlauch dehnt sich aus, wenn Wasser durchfließt).

Betrachtet man die Änderungsrate dieser Scherspannung in der Flüssigkeit entlang des Kanals, erhält man eine Zahl, die erstaunlicherweise an jedem Punkt konstant ist. Dies ist der von außen angelegte Druckgradient entlang des Kanals, der die Flüssigkeit in Bewegung bringt. Nun wird die innere Mechanik der herrschenden Gleichung einer stationären Strömung gegen einen Druckgradienten in x-Richtung in einem Rohr beliebiger Form klar, die lautet:

2vz/∂y2 + ∂2vz/∂z2 =1/η ⋅ ∂p/∂x

Beachten Sie, dass sich diese Gleichung bei verschwindendem Druckgradienten (rechte Seite) bei sehr großen Viskositäten der Diffusionsgleichung annähert, bei der jede Bewegung durch die Randbedingung unterdrückt wird (verschwindende Geschwindigkeit an den Rändern). Dies ist eine vereinfachte Navier-Stokes-Gleichung.

Bei zeitabhängigen laminaren Strömungen ist die linke Seite durch -ρ/η ⋅ ∂ vx / ∂t zu erweitern.

Die am meisten verbreiteten Kanalgeometrien in der Mikrofluidik sind zylindrisch oder rechteckig. Bei zylindrischen Kanälen ist die Lösung ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil (uC):

u(r) = u( 1 – ( r/R)2)

mit der maximalen Geschwindigkeit in der Mitte des Schlauchs u0 = -R2(∂p/∂x)/(4η), dem Schlauchradius (R) und dem Abstand von der Mittellinie des Schlauchs (r). Das negative Vorzeichen verweist darauf, dass die Strömung invers zu den Druckgradienten ausgerichtet ist, d.h. von hohen zu niedrigen Drücken. Die Integration ergibt den Gesamtvolumenstron: Q=π R4 / (8 η ) ⋅ Δp/Δ x, das berühmte Hagen-Poiseuille-Gesetz.

Bei rechteckigen Kanalprofilen im Bereich von (- w/2 < y < + w/2) und (- h/2 < z < + h/2) mit der Breite w und der Höhe h ≤ w kann das Geschwindigkeitsprofil durch Lösen der partiellen Differentialgleichung mit der Methode der Variablentrennung erhalten werden, die in der Literatur zu finden ist.[1] Nun besteht die Lösung aus einer Reihe von verschränkten hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen, die vom inversen Seitenverhältnis w/h und y/h, z/h abhängen. Es sei angemerkt, dass für kleine Seitenverhältnisse das laterale Profil fast vollständig flach ist, während das vertikale Profil gekrümmt bleibt. Dies ist plausibel, da für den Extremfall eines unendlich breiten Kanals das horizontale Profil vollkommen flach wird. Diese Beobachtung deutet auf eine Möglichkeit hin, die Dispersion von kleinen Proben, die in einer strömenden Trägerflüssigkeit gelöst sind, zu minimieren.

Eine sehr gute Approximation für den Gesamtvolumenstrom für den gesamten Bereich von nahe 1 bis zu sehr kleinen Seitenverhältnissen h/w ist gegeben durch

Q = ((833 h3 w – 523 h4 tanh(π/2 ⋅ w/h)) / η) ⋅ Δ p / Δ x. [2]

Auf dieser Website finden Sie einen Rechner für den Gesamtvolumenstrom und den zugehörigen Druck in zylindrischen und rechteckigen Kanälen. Wir laden Sie dazu ein, verschiedene Werte und Geometrien zu berechnen.

 

Referenzen:

[1] Bastian E. Rapp, Microfluidics: Modeling, Mechanics, and Mathematics (https://doi.org/10.1016/C2012-0-02230-2)

[2] Fütterer, C., Biophysical Tools GmbH

 

Verfasser: Fütterer, C., Kubitschke, H.

Flow profile

Melden Sie sich zu unserem Newsletter an!

Diese Seite wird regelmäßig mit neuen technischen und Anwendungshinweisen sowie Hintergrundinformationen zu Mikrofluidik, Hydrodynamik aktualisiert. Abonnieren Sie unseren Newsletter, um frühzeitig über Veröffentlichung neuer Beiträge zu erfahren.